Số chính phương là một cụm từ quen thuộc với tất cả chúng ta, đặc biệt với những em học sinh thuộc cấp trung học cơ sở. Tuy nhiên theo thời gian, chúng ta có thể quên mất mọi định nghĩa, tính chất, ứng dụng của số chính phương. Vậy thì hãy theo chân chúng tôi để hiểu rõ nhất về số chính phương trong bài viết ngày hôm nay.
Tìm hiểu số chính phương là gì?
Để có thể áp dụng những tính chất của số chính phương vào trong các bài tập điển hình thì trước tiên hãy cùng tìm hiểu những thông tin cơ bản nhất đó là khái niệm và đặc điểm.
Khái niệm số chính phương là gì?
Mỗi người có một cách truyền tải khái niệm số chính phương khác nhau nhưng chung quy lại chúng ta có thể định nghĩa như sau: số chính phương là số được tạo ra sau khi bình phương một số tự nhiên bất kỳ. Hiểu cách khác, khi chúng ta căn bậc hai một số chính phương thì sẽ được một số tự nhiên.
Ngoài ra, số chính phương còn có một tên gọi khác đó là số hình vuông. Lý do là bởi khi chúng ta tính diện tích hình vuông sẽ lấy hai cạnh liền kề nhân với nhau. Mặt khác các cạnh trong một hình vuông lại bằng nhau nên diện tích hình vuông sẽ bằng bình phương của một cạnh. Điều này trùng hợp với cách tạo ra số chính phương nên nó có tên gọi là số hình vuông.
Đặc điểm của số chính phương
- Đặc điểm nổi bật nhất của số chính phương là nếu nó chia hết cho một số tự nhiên (khác 0) nào đó thì cũng sẽ chia hết cho bình phương của số đó. Để hiểu rõ hơn, dưới đây là một vài ví dụ điển hình.
Ta có: 75 là một số chính phương, 75 chia hết cho 5, vậy 75 cũng chia hết cho 25 (25 là bình phương của 5)
- Số lượng ước nguyên của một số chính phương thường là lẻ. Ví dụ 16 là một số chính phương, nó có 5 ước nguyên là: 1, 2, 4, 8, 16.
Số chính phương có những tính chất gì?
Biết được những tính chất đặc biệt sau, bạn có thể áp dụng để nhận biết và làm các bài toán liên quan đến số chính phương một cách dễ dàng và nhanh chóng hơn. Dưới đây là 9 tính chất cơ bản và được sử dụng thường xuyên nhất.
- Những chữ số tận cùng của số chính phương bắt buộc phải là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nó không thể tận cùng là 2, 3, 7, 8. Ví dụ các số 100, 121, 144,…là số chính phương. Tuy nhiên cần lưu ý rằng không phải số nào tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 cũng là số chính phương. Ví dụ 10, 11, 14, 35 không phải là số chính phương.
- Khi chúng ta phân tích số chính phương ra các thừa số nguyên tố, nó chỉ chứa các thừa số nguyên tố có số mũ là chẵn.
- Số chính phương chỉ có thể tồn tại ở một trong hai dạng sau: 4m và 4m+1 (m thuộc tập hợp số tự nhiên), không có dạng 4m+2 hay 4m+3
- Số chính phương chỉ có thể tồn tại ở một trong hai dạng sau: 3m và 3m+1 (m thuộc tập hợp số tự nhiên), không có dạng 3m+2
- Một số chính phương chia hết cho 2 thì chắc chắn phải chia hết cho 4
Một số chính phương chia hết cho 3 thì chắc chắn phải chia hết cho 9
Một số chính phương chia hết cho 5 thì chắc chắn phải chia hết cho 25
Một số chính phương chia hết cho 8 thì chắc chắn phải chia hết cho 16
- Tận cùng của số chính phương là 1, 4, 9 thì chữ số hàng chục bắt buộc là số chẵn
Tận cùng của số chính phương là 5 thì chữ số hàng chục bắt buộc là 2
Tận cùng của số chính phương là 6 thì chữ số hàng chục bắt buộc là số lẻ
- Khi ta lấy 1 số chính phương đem chia cho 5 hoặc 8 thì số dư chỉ có thể là 0, 1, 4
- Giữa hai số chính phương liền kề nhau sẽ không xuất hiện bất kỳ số chính phương nào khác
- Giả sử nhân hai số a và b cho kết quả là một số chính phương thì a, b sẽ có dạng như sau: a= n.p^2, b=n.q^2
Phân biệt các dạng số chính phương
Có thể chia số chihs phương ra thành 2 loại là số chính phương lẻ và số chính phương chẵn.
Một số tự nhiên lẻ sau khi bình phương sẽ tạo ra một số chính phương lẻ. Ví dụ dễ hiểu: 3 là số lẻ, 3 bình phương bằng 9 nên 9 là số chính phương lẻ
Một số tự nhiên chẵn sau khi bình phương sẽ tạo ra một số chính phương chẵn. Ví dụ dễ hiểu: 4 là số chẵn, 4 bình phương bằng 16 nên 16 là số chính phương chẵn
Một số ví dụ về số chính phương
Với những định nghĩa, đặc điểm và tính chất của số chính phương. Có thể dễ dàng lấy một số ví dụ về số chính phương.
Các số chính phương nhỏ hơn 50. Đó là: 0, 1. 4, 9, 16, 25, 36, 49
Các số chính phương lẻ: 25, 49, 81, 121, 169,…
Các số chính phương chẵn: 36, 64, 100, 144,…
Bài tập điển hình về số chính phương
Để hiểu rõ hơn về khái niệm cũng như tính chất u+của số chính phương, chúng ta cùng tham khảo một số dạng bài tập như sau:
– Dạng 1: Chứng minh một số tự nhiên nào đó là số chính phương hoặc chứng minh kết quả của một phép tính nào đó sẽ là số chính phương
Ví dụ: Chứng minh (a^2+2ab+b^2) là số chính phương ( a, b thuộc N)
Giải: Áp dụng hằng đẳng thức ta có (a^2+2ab+b^2)= (a+b)^2.
Đặt a+b=y ta có (a^2+2ab+b^2)= y^2 (theo định nghĩa thì đây là một số chính phương).
– Dạng 2: Chứng minh một số tự nhiên nào đó không là số chính phương
Để làm được bài toán này ta cần chứng minh số đó không phân tích được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên, số đó tận cùng là 2, 3, 7, 8, số đó được viết dưới dạng 4m+2, 4m+3 hoặc 3m+2
Ví dụ: Chứng minh tổng của 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+……..+2^22+2^23 không là số chính phương.
– Dạng 3: Tìm một số tự nhiên m sao cho phép tính chứa m có kết quả là một số chính phương
Để làm được bài toán này ta cần sử dụng các định nghĩa, tính chất
Ví dụ: Tìm m sao cho A= m(m+1)(m+2) là một số chính phương
Kết luận
Trên đây là khái niệm số chính phương là gì cùng những đặc điểm, tính chất và các bài toán điển hình liên quan. Hy vọng với những kiến thức trên, các bạn học sinh, sinh viên có thể dễ dàng nhận biết và xử lý các bài toán liên quan đến số chính phương một cách dễ dàng và nhanh chóng nhất.